柯西不等式的定理和应用技巧
一、柯西不等式的定理和应用技巧
1、二维形式的柯西不等式
定理1：（二维形式的柯西不等式）若都是实数，则，当且仅当时，时等号成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立。
定理3：（二维形式的三角不等式）设，那么。
在定理3中，用代，用代，用代，用代可得平面三角不等式：+≥。
2、一般形式的柯西不等式
定理：（一般形式的柯西不等式）设是实数，则≥，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立。
3、柯西不等式的应用技巧
柯西不等式的主要应用是证明不等式和求最值，利用柯西不等式证明不等式时，先使用拆项、重组、填项等方法技巧构造符合柯西不等式的应用条件，再处理；利用柯西不等式求最值时，一定要注意验证等号成立的条件。
构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数，可以重新安排各项的次序，可以填项，也可以改变式子的结构。
二、柯西不等式的相关例题
设,且，则的最小值为___
A．B．C．D．2
答案：A
解析：因为，所以由柯西不等式得，于是，故，当且仅当时,等号成立，所以的最小值为。
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