高中数学：求双曲线离心率的取值范围
求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。
一、利用双曲线性质
例1、设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知
是点P到左准线的距离
和
的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由题设
得：
。由双曲线第二定义
得：
，由焦半径公式得：
，则
，即
，解得
。
小结：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点
在双曲线
的左支上则
；若点
在双曲线的右支上则
。
二、利用平面几何性质
例2、设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，
，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由双曲线第一定义得：
，与已知联立解得：
，由三角形性质
得：
解得：
。
小结：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。
三、利用数形结合
例3、（同例2）
解析：由例2可知：
，点P在双曲线右支上由图1可知：
，
，即
，两式相加得：
，解得：。
四、利用均值不等式
例4、已知点在双曲线
的右支上，双曲线两焦点为，
最小值是
，求双曲线离心率的取值范围。
解析：
，由均值定理知：当且仅当
时取得最小值，又
所以
，则
。
五、利用已知参数的范围
例5、已知梯形ABCD中，
，点E分有向线段
所成的比为
，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当
时，求双曲线离心率的取值范围。
解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设
其中
是梯形的高，由定比分点公式得
，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得
，
，两式整理得
，从而建立函数关系式
，由已知得，
，解得
。
六、利用直线与双曲线的位置关系
例6、已知双曲线
与直线：
交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去
得：
时，直线与双曲线有两个不同的交点则
，
，即
且
，所以
，即
且
。
七、利用点与双曲线的位置关系
例7、已知双曲线上存在P、Q两点关于直线
对称，求双曲线离心率的取值范围。
解析：设
，弦PQ中点为M，由点差法求得
，当点M在双曲线内部时
，整理得：
无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：
，即
，则
，所以
。
八、利用非负数性质
例8、已知过双曲线左焦点
的直线交双曲线于P、Q两点，且
（
为原点），求双曲线离心率的取值范围。
解析：设
，过左焦点的直线方程：
，代入双曲线方程得：
，由韦达定理得：
，
，由OP⊥OQ得
，即：
，解得：
，因为
，所以
，则
，所以
。
求双曲线离心率的取值范围时要根据题情，因题制宜挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线离心率的取值范围。
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